竞赛数学题的最小正整数解

题目要求找到最小的正整数 $ n $，使得通过有限次操作后，所有红色卡片上的实数之和大于 100。每次操作选择一张红色卡片和一张蓝色卡片，若红色卡片上的实数 $ x $ 小于蓝色卡片上的实数 $ y $，则将这两个实数擦去，并在两张卡片上都写下 $ rac{x+y}{2} $。初始时，红色卡片上的实数为 0，蓝色卡片上的实数为 1。每次操作后，红色卡片上的实数从 0 变为 $ rac{0+1}{2} = rac{1}{2} $，蓝色卡片上的实数也从 1 变为 $ rac{0+1}{2} = rac{1}{2} $。

考虑操作 $ k $ 次后，红色卡片上的实数之和。每次操作都会使红色卡片上的实数增加 $ rac{1}{2} $，因此 $ k $ 次操作后，红色卡片上的实数之和为 $ rac{k}{2} $。要使这个和大于 100，我们需要解不等式 $ rac{k}{2} > 100 $。

解这个不等式得到 $ k > 200 $。因此，我们需要至少进行 201 次操作。由于每次操作都会消耗一张红色卡片和一张蓝色卡片，所以 $ n $ 必须至少为 201。因此，最小的正整数 $ n $ 是 201。